Pengertian, Contoh soal & Penerapan Integral Dalam Kehidupan Sehari-hari

 

Pengertian Integral

Integral merupakan bentuk operasi matematika yang menjadi kebalikan (invers) dari operasi turunan dan limit dari jumlah atau suatu luas daerah tertentu. Berdasarkan pengertian tersebut ada dua hal yang dilakukan dalam integral sehingga dikategorikan menjadi 2 jenis integral. Pertama, integral sebagai invers/ kebalikan dari turunan disebut sebagai Integral Tak Tentu. Kedua, integral sebagai limit dari jumlah atau suatu luas daerah tertentu disebut integral tentu.

Eittsss tapi sahabat untuk sekarang kita belajar Integral Tak Tentu terlebih dahulu 💓

Pengertian Integral Tak Tentu

Integral tak tentu atau disebut juga dengan anti-turunan adalah bentuk operasi peng-integralan yang menghasilkan suatu fungsi baru. Integral sangat berperan dalam matematika. Teorinya dapat menentukan luasan dibawah kurva suatu fungsi. Integral berguna untuk limit penjumlahan yang berkesinambungan terhadap fungsi yang kontinu. Integral adalah anti turunan. Kemudian, jika f adalah suatu fungsi kontinu, maka hasil integral fungsi f dinotasikan F. Jenis intergral berdasarkan batas-batas fungsi ada yang tertentu ada yang tak tentu. Berikut pembahasan untuk jenis integral dengan batas yang tidak tertentu.

Rumus-Rumus Integral Tak Tentu

1. ∫ axⁿdx = 

   an+1

   xⁿ⁺¹ + c; n≠1
2. ∫ 

   1x

   dx = ln|x| + c
3. ∫ k dx = kx + c
4. ∫ e^x dx = e^x + c
5. ∫ a^x dx = 

   a^xln a

   dx = + c
6. ∫ kf(x) dx = k ∫ f(x) dx
7. ∫ f((x) + g(x))dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx
8. ∫ f((x) - g(x))dx = ∫ f(x) dx - ∫ g(x) dx
9. ∫ (u(x))^ru'(x)dx = 

   1r+1

    (u(x))^r+1, c=konstanta, n≠1
10. ∫ u dv = uv - ∫ v du
11. ∫ sin x dx = -cos x + c
12. ∫ cos x dx = sin x + c
13. ∫ sin(ax + b) dx = 

    -1a

     cos(ax + b) + c
14. ∫ cos(ax + b) dx = 

    1a

     sin(ax + b) + c
15. ∫ tan x dx = ln |sec x| + c
16. ∫ cot x dx = ln |sin x| + c
17. ∫ sec x dx = ln |sec x + tan x| + c
18. ∫ csc x dx = ln |csc x - cot x| + c
19. ∫ tan² x dx = tan x - x + c
20. ∫ cot² x dx = cot x - x + c
21. ∫ sin² x dx = 

    12

     (x - sin x . cos x) + c
22. ∫ cos² x dx = 

    12

     (x + sin x . cos x) + c
23. ∫ sec² x dx = tan x + c
24. ∫ csc² x dx = -cot x + c
25. ∫ sec x tan x dx = sec x + c
26. ∫ csc x cot x dx = -csc x + c
27. ∫ sinⁿ x cos x dx = 

    1n+1

     sinⁿ⁺¹ x + c
28. ∫ cosⁿ x sin x dx = 

    -1n+1

     cosⁿ⁺¹ x + c

Latihan Soal Integral Tak Tentu

Soal No.1

Tentukan hasil dari :

∫ 2x³ dx

Pembahasan

∫ axⁿdx = 

an+1

xⁿ⁺¹ + c; n≠1

∫ 2x³ dx = 

23+1

 x³⁺¹ x + c = 

12

 x⁴ x + c

Soal No.2

Carilah hasil integral tak tentu dari :

∫ 7 dx

Pembahasan

∫ k dx = kx + c

∫ 7 dx = 7x + c

Soal No.3

Tentukan hasil integral tak tentu berikut ini:

∫ 8x³ - 3x² + x + 5 dx

Pembahasan

∫ 8x³ - 3x² + x + 5 dx

⇔ 

8x⁴4

 - 

3x³3

 + 

x²2

 + c
⇔ 2x⁴ - x³ + 

12

x² + 5x + c

Soal No.4

Carilah nilai integral tak tentu berikut ini :

∫ (2x + 1)(x - 5) dx

Pembahasan

∫ (2x + 1)(x - 5) dx

⇔ ∫ 2x² + 9x - 5 + c = 

23

x³ + 

92

x² - 5x + c

Soal No.5

Carilah nilai integral dari :

∫ x(2x - 1)² dx

Pembahasan

∫ x(2x - 1)² dx

⇔∫ x(4x² - 4x + 1) dx

⇔∫ (4x³ - 4x² + x) dx

⇔ x⁴ - 

43

x³ + 

12

x²

Hmmmm gimana sahabat udah pada paham ? Kalian bisa cari contoh soal lainnya di internet sebagai latihan😀💪

Terus mau tau ga penerapannya apa dalam kehidupan ?😏

1. Pada Bidang Teknik
Pada bidang Tekhnik penggunaan turunan dapat membantu programer dalam pembuatan aplikasi dari mesin – mesin yang handal.
Contohnya : Para Enginer dalam membuat / mendisain mesin – mesin pesawat terbang.

2. Pada Bidang Katematika
Turunan digunakan untuk pencarian dalam limit, yang bentuk soal limitnya harus di faktorkan atau di kalikan terlebih dahulu dengan akar sekawan. Selain itu , Aplikasi turunan juga digunakan untuk menentukan persamaan garis singgung.
Contoh penggunaan Turunan untuk menentukan Garis singgung :
Tentukan persamaan garis singgung dari y = x3 - 2x2 - 5 pada titik (3,2).
Jawab :
Y=f(x)= x3-2x2-5
Y=f(x)=3x2-4x f ’(3) = 3(3)2 - 4(3) = 15 ; m = 15.
Rumus pers. Garis singgung :
y-yo = m (x-xo)
maka garis singgung fungsi diatas adalah :
Y – 2 = 15 (x – 3) atau y = 15x – 43

3. Pada Bidang Fisika
Besaran Turunan adalah besaran yang terbentuk dari satu atau lebih besaran pokok yang ada. Besaran adalah segala sesuatu yang memiliki nilai dan dapat dinyatakan dengan angka. Misalnya adalah luas yang merupakan hasil turunan satuan panjang dengan satuan meter persegi atau m pangkat 2 (m^2). Luas didapat dari mengalikan panjang dengan panjang.
Berikut ini adalah berbagai contoh besaran turunan sesuai dengan sistem internasional / SI yang diturunkan dari sistem MKS (meter - kilogram - sekon/second) :

- Besaran turunan energi satuannya joule dengan lambang J
- Besaran turunan gaya satuannya newton dengan lambang N
- Besaran turunan daya satuannya watt dengan lambang W
- Besaran turunan tekanan satuannya pascal dengan lambang Pa
- Besaran turunan frekuensi satuannya Hertz dengan lambang Hz
- Besaran turunan muatan listrik satuannya coulomb dengan lambang C
- Besaran turunan beda potensial satuannya volt dengan lambang V
- Besaran turunan hambatan listrik satuannya ohm dengan lambang ohm
- Besaran turunan kapasitas kapasitor satuannya farad dengan lambang F
- Besaran turunan fluks magnet satuannya tesla dengan lambang T
- Besaran turunan induktansi satuannya henry dengan lambang H
- Besaran turunan fluks cahaya satuannya lumen dengan lambang ln
- Besaran turunan kuat penerangan satuannya lux dengan lambang lx

4. EKONOMI
Operasi hitung integral dapat diterapkan dalam persoalan ekonomi, misalnya dalam integral tak tentu digunakan menghitung fungsi total, dan dalam integral tertentu digunakan untuk menghitung surplus konsumen dan surplus produsen.
Jika diketahui fungsi demand dan supply suatu barang, operasi hitung integral dapat dipakai untuk menghitung surplus konsumen dan surplus produsen pada saat market equilibriumatau pada tingkat harga tertentu.

Sekian dan Terimakasih😍